Universimmo.com - Chambre d'etudiant decente

****JavaScript based drop down DHTML menu generated by NavStudio. (OpenCube Inc. - http://www.opencube.com)****

ATTENTION : Le Forum d’Universimmo a migré sur une nouvelle plate-forme, sécurisée, et à la pointe de ce qui se fait en matière de forums de discussion. Pour découvrir le nouveau Forum : cliquez ici - découvrez aussi le "Portail" de cette nouvelle plate-forme
Petite contrainte dont nous vous demandons de ne pas nous tenir rigueur, liée à notre souhait de nettoyer un fichier de membres alourdi par le temps :
la nécessité, si vous étiez déjà enregistré(e) dans l’ancien forum, de vous ré-enregistrer sur le nouveau , si possible en conservant le même identifiant (pseudo).
Ce forum est désormais fermé, mais il restera consultable sans limite de durée à l’url : http://www.universimmo.com/forum
Les adresses et les liens que vous avez pu créer vers ses sujets restent bien entendu totalement opérationnels.
Par contre tous les nouveaux sujets doivent être créés sur la nouvelle plate-forme.
Pour toutes remarques, questions ou suggestions concernant cette migration, nous vous proposons un sujet dans la section « A propos de ce forum »
Bon surf ! L’équipe Universimmo

Il est recommandé pour apprécier le site d'avoir une résolution d'écran de 1024x768 (pixels/inch) ou Plus..

Identifiant :	Mot de passe :
Enregistrer le mot de passe
Vous avez oublié votre mot de passe ?

Tous les Forums

Bailleurs

Divers Bailleurs

Chambre d'etudiant decente

Forum fermé

Sujet fermé

Imprimer le sujet

Page précédente | Page suivante

Auteur

Sujet

Page : de 5

ali gator
Pilier de forums

9527 réponses

Posté - 04 mars 2008 : 01:27:17

Puis je me permettre une précision qui permettrait d'éclairer ce débat ?
Quelques considérations entre le OU, le ET et le SOIT !!!

Préambule sur la logique

La logique est pour certains le soubassement indispensable des mathématiques dont elle fait partie, pour d'autres, ce sont les mathématiques qui sont un sous-ensemble de la logique. En tout cas, au cours de l'histoire des mathématiques, les deux ont toujours été étroitement liées. On parle parfois de « logique euclidienne » alors qu'Euclide ne s'est occupé que de géométrie.

En fait, pendant longtemps, on s'occupait de mathématiques en utilisant des raisonnements logiques implicites qu'on ne citait plus tant ils paraissaient évidents. En 1787, Kant écrivait que depuis Aristote, la logique formelle « n'a pas pu faire un seul pas en avant et qu'ainsi, elle semble close et achevée ».

C'est au XIXème et au XXème siècle que l'imbrication logique-mathématique a réellement été mise en exergue, spécialement à l'occasion de l'émergence de paradoxes dont on ne savait trop à laquelle des deux les attribuer.

C'est Boole qui le premier a échafaudé un édifice logique dérivé de l'algèbre. Celui-ci reposait sur des règles strictes de compositions de propositions et de détermination de leur valeur de vérité par des tables d'opérateurs (comme en mathématique).

La base fondamentale de l'algèbre de Boole est qu'une proposition ne peut avoir que deux valeurs de vérité : VRAIE (V) ou FAUSSE (F). Grâce à des opérateurs logiques, on peut à partir d'une ou de plusieurs propositions former d'autres propositions. Par exemple, si p et q sont des propositions, : opérateur S'applique sur notation exemple
Négation une proposition Ø Ø p
ET 2 propositions Ù pÙ q
OU 2 propositions Ú pÚ q
Implication 2 propositions => (ou É ) p=>q (ou pÉ q)

Ces opérateurs définissent une connexion généralement intuitive que l'on comprend sans autre explication. Mais c'est là de la métalogique. En fait, la logique classique repose sur le fait que l'expression d'une proposition est indépendante de sa valeur de vérité. C'est à dire que l'on peut écrire ce que l'on veut (dans les limites d'une syntaxe définie) sans avoir à se préoccuper de savoir si c'est vrai ou pas. Ce n'est qu'après coup qu'on détermine sa valeur de vérité, grâce à des tables de composition.

Par exemple, pour les 4 opérateurs définis ci-dessus, on a les tables suivantes : p q Ø p pÙ q pÚ q p=>q
V V F V V V
V F F F V F
F V V F V V
F F V F F V

La règle est simple : on examine tous les cas possibles de combinaison pour les valeurs de vérité des 2 propositions p et q, et on définit alors quelle sera la valeur de vérité de la proposition combinée. Pour Ø p, bien sûr, cela ne dépend que de p. Il n'y a pas besoin de 4 lignes, mais de deux seulement. On remarque que :

Ø p est vrai si et seulement si p est faux
pÙ q est vrai si et seulement si p est vrai et q est vrai, sinon pÙ q est faux
pÚ q est faux si et seulement si p est faux et q est faux, sinon pÚ q est vrai
p=>q est faux si et seulement si p est vrai et q est faux, sinon p=>q est vrai
Il faut noter que ce ne sont ici que des énonciations de valeurs de vérité, sans aucun recours à quelque interprétation de bon sens. En logique, le fait de dire « p » ne signifie pas qu'il soit vrai, bien que ce soit comme ça qu'on l'utilise en mathématique en général. Ceci est encore plus vrai pour l'implication où écrire p=>q ne signifie pas que p soit vrai, ni q, ni même que p implique q. En mathématique, il faudrait dire :

p est vrai, et je vous démontre que « p implique q » est vrai aussi (par un raisonnement). Donc q est vrai

Ce qui en logique, pourrait s'écrire :

(pÙ (p=>q)) => q

Ce qui cette fois est une tautologie, toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité de p et q.

Remarques : la logique étant bivalente, il y a des conséquences directes qu'on utilise toujours sans les remarquer. Par exemple, on a vu que « pÙ q est vrai si et seulement si p est vrai et q est vrai, sinon pÙ q est faux ». Cela revient à dire que « pÙ q est vrai » est équivalent à « p est vrai « et « q est vrai ». Il y a une sorte de distributivité du prédicat 'est vrai' sur l'opérateur « et ». On ne s'en rend pas compte, mais on s'en sert tout le temps. Lorsqu'on sait que la conjonction de deux propositions est vraie, on dit que les deux sont vraies, sans percevoir qu'on a « ouvert des parenthèses ». On confond « pÙ q est vrai » et (« p est vrai « et « q est vrai »).

Notons que ce peut ne pas être le cas en logique tétravalente. On pourrait avoir « pÙ q est vrai » sans que ni p ni q ne soient eux vrais (ni faux), mais possèdent par exemple une valeur de vérité « orthogonale ». Ceci pourrait être particulièrement fructueux dans le cas des paradoxes genre Russell où une proposition entraîne sa négation. Nous verrons plus loin que dans ce paradoxe, on réfute qu'une proposition P soit vraie ou fausse parce qu'alors elle serait vraie et fausse. Donc on n'a ni P vrai ni Ø P vrai, mais il semble bien qu'on ait (PÙ Ø P) vrai.

Si l'on définit deux valeurs orthogonales respectivement directe (D) et rétrograde (R), telles que (non D) = R et que (D et R) = V, alors le paradoxe s'estompe (à creuser).

Valeurs algébriques :

Boole a alors codifié les connexions logiques grâce à un langage mathématique simple et en attribuant à la valeur Vraie le chiffre 1, et à la valeur Fausse le chiffre 0. Dès lors, les tables de vérité ci-dessus peuvent être rapportées à un isomorphisme avec le corps ({0, 1}, Å , Ä ) où ces opérations sont définies par :

0 Å 0 = 0, 0 Å 1 = 1 Å 0 = 1 et 1 Å 1 = 1,

0 Ä 0 = 0, 0 Ä 1 = 1 Ä 0 = 0 et 1 Ä 1 = 1

dans ce cas, si Val(p) est la valeur de vérité de p, on a :

Val(Ø P) = 1 -Val(p)

Val(pÙ q) = Val(p)Ä Val(q) et Val(pÚ q) = Val(p)Å Val(q)

Ceci conditionne tout les reste, car on peut définir tous les opérateurs à partir de « et » et « ou ». Par exemple, l'implication p=>q est équivalente à Ø pÚ q (Non-P ou Q). On peut le vérifier avec les tables de vérité, ou bien en réfléchissant un peu.

Autres propriétés :

1) Une propriété également remarquable est la distributivité de « et » sur « ou », et inversement :

(pÚ q)Ù r est équivalent [1] à (pÙ r)Ú (qÙ r)

(pÙ q)Ú r est équivalent à (pÚ r)Ù (qÚ r)

2) « et » et « ou » s'échangent par l'opération de négation :

Ø (pÚ q) est équivalent à Ø pÙ Ø q

Ø (pÙ q) est équivalent à Ø pÚ Ø q

3) on a dit que p=>q était une proposition qui pouvait être vraie ou fausse dans le cas général. En mathématique, on sous-entend quand on l'écrit que c'est vrai. Il existe un symbole signifiant « j'écris p=>q et je dis que c'est vrai », c'est :

p |- q

Dans le cas où une proposition est vraie (une tautologie), on écrit alors :

|- p

c'est à dire, en gros : p est vrai, et ne nécessite aucune proposition antérieure.

Les paradoxes ensemblistes
On s'aperçoit que les paradoxes logiques et/ou mathématiques ont commencé avec la théorie des ensembles. Celle-ci date du XIXème siècle et est due à Georg Cantor et à Julius Dedekind.

Dans tous les domaines des mathématiques, il est nécessaire de regrouper des « choses » plus ou moins semblables dans un même tout, auquel on donne le nom d' ensemble. Les choses contenues dans un ensemble en sont les éléments.

Intuitivement, on conçoit à peu près ce que recouvre cette notion d'après des exemples courants : un porte-monnaie contenant des pièces et/ou des billets est l'ensemble des éléments (monnaie) qui se trouvent à l'intérieur. L'image la plus générale est celle d'une boite-ensemble contenant des choses-éléments.

Malheureusement, cette image ne recouvre pas la totalité des types d'ensemble possibles. La manière la plus intuitive de caractériser un ensemble est faire la liste de tous ses éléments (distincts), ce qui donne un accès direct à ceux-ci. Par exemple, l'ensemble des 4 premières lettres de l'alphabet français :

E = {a, b, c, d,}

C'est ce qu'on appelle l'écriture de l'ensemble en extension.

Cependant, il s'est avéré que l'établissement d'une telle liste n'était pas toujours possible. par exemple, quand on prend l'ensemble de tous les entiers positifs pairs se pose le problème du nombre infini d'éléments. Dans d'autres cas, ce n'est pas le nombre mais la forme ou la valeur des éléments qui pose problème.

On convient alors qu'un ensemble peut être défini par une propriété que partagent tous ses éléments, et eux seuls. Il est apparu évident qu'il y avait équivalence entre la notion d'ensemble et celle de propriété commune à tous ses éléments (ne serait-ce que celle d'appartenir à cet ensemble si on l'a défini a priori).

On écrit alors l'ensemble des entiers pairs :

E = {n / n est un entier positif divisible par 2}

On pourrait l'écrire avec des symboles plus mathématiques, mais ce n'est pas la peine ici. C'est ce qu'on appelle l'écriture de l'ensemble en compréhension.

Apparaît ici une difficulté qui n'est pas évidente à comprendre : celle de l'accès aux éléments d'un ensemble. En effet, les éléments d'un ensemble écrit en extension sont parfaitement connus grâce à la liste dont nous avons déjà parlé ; en revanche, une propriété quelconque peut donner naissance à un ensemble dont nous n'avons pas la moindre idée de la forme des éléments. Peut-on avoir accès à eux dans de telles conditions ?

L'axiome du choix répond que oui dans le cas où l'ensemble n'est pas vide, mais possède au moins un élément. On peut prendre un élément dans un ensemble non vide et raisonner sur lui à partir de la propriété de définition sans savoir quel est cet élément, ni à quoi il ressemble.

Quels sont les ensembles qu'on peut écrire en extension ? Les ensembles à nombre fini d'éléments sans aucun doute, mais sans doute aussi ceux qu'on peut construire élément par élément (et qui sont donc alors dénombrables).

Il y avait d'ailleurs une querelle au siècle dernier qui opposait les constructivistes et les « transcendantalistes ». Les premiers ne voulaient raisonner que sur des objets auxquels on avait accès grâce à un nombre fini d'opérations. Les seconds postulaient l'existence d'objets a priori sans l'intervention d'une construction quelconque et essayaient d'analyser les propriétés de tels objets. Au début du siècle, ce sont les seconds qui dominaient mais on verra plus loin que Hilbert était revenu au constructivisme.

L'un des premiers problèmes que rencontra Cantor avec sa théorie des ensembles fut celui de l'infini. Quand je dis problème, ce n'est pas tant du point de vue démonstration que par rapport à l'attitude réprobatrice de ses collègues mathématiciens. Cantor réussit à indiquer des différences entre les différents cardinaux infinis. Le premier infini que l'on rencontre est celui des entiers, dit dénombrable. Cela signifie qu'on peut les regrouper tous en une suite ordonnée (Sn).

Le second infini [2] est le cardinal des nombres réels. Par un raisonnement astucieux, dit de la diagonale, Cantor montra que toute suite numérique de nombres réel en omettait au moins un, et que le cardinal de R était donc d'un ordre strictement supérieur à celui de N. On dit que l'infini de R a la puissance du continu.

Les infinis créaient des problèmes parce qu'ils permettaient des bijections entre des ensembles dont l'un pouvait être strictement inclus dans l'autre. Le tout pouvait-il être aussi grand que la partie ? Il y autant de nombres positifs que de nombres entiers et que de nombres rationnels (quotient de deux entiers). Ensuite, il y a un « gap » jusqu'aux réels. Et pourtant, l'ensemble des rationnels Q - dénombrable - est dense dans R (entre deux réels, il y a toujours un rationnel) qui lui n'est pas dénombrable.

Plus fort : Cantor avait émis une conjecture, appelée « Hypothèse du continu », stipulant que tout sous-ensemble de R est soit dénombrable, soit continu, c'est à dire qu'il n'existait aucun infini intermédiaire entre le dénombrable et le continu. En 1940, Gödel a bâti toute une théorie consistante en le supposant. Plus tard, en 1963, son élève Paul Cohen bâtit une autre théorie consistante en supposant le contraire. Bref, c'est une proposition indémontrable, ni vraie ni fausse, ce qui paraît tout de même curieux...

Le cardinal de P(E)
Cantor a prouvé quelque chose de très important : qu'il n'existait pas de surjection entre un ensemble E et l'ensemble P(E) de ses parties (ou sous-ensembles). Une surjection est une application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent, ce qui n'est possible que si le cardinal de l'ensemble de départ est supérieur ou égal à celui d'arrivée. Cela signifie que le cardinal de P(E) est strictement supérieur à celui de E.

Si E est de cardinal fini n, l'ensemble P(E) a 2 n éléments. Dans ce cas le résultat est évident, mais si le cardinal de E est infini, ce n'est pas aussi simple.

Dans tous les cas, pour le prouver, il suffit, pour toute application f de E dans P(E), de considérer la partie A={xÎ E / xÏ f(x)}. Ce sous-ensemble de E est un élément de P(E) qui ne peut avoir d'antécédent par f, car on arriverait aussitôt à une contradiction à cause de la propriété définissant A.

En effet, supposons qu'il existe yÎ E tel que A = f(y) ; A étant une partie de E et y appartenant à E, alors y pourrait appartenir à A. Si c'est le cas, y appartiendrait à la partie regroupant tous les éléments n'appartenant pas à leur image par f. Or, A = f(y). Donc y n'appartient pas à A. Mais alors, par définition de A, y devrait lui appartenir. Voilà un raisonnement intéressant qu'on retrouvera.

En tout cas, A n'a pas d'antécédent et il ne peut donc pas y avoir de surjection de E vers P(E).

Premier paradoxe : l'ensemble des ensembles
En gardant l'idée de la propriété constitutive d'un ensemble, Cantor s'aperçut qu'on arrivait à une contradiction : on pouvait constituer des ensembles impossibles, par exemple l'ensemble de tous les ensembles [3] . Cet ensemble ne peut exister parce qu'ils contient - comme éléments - toutes ses parties (y compris lui-même) car celles-ci sont aussi des ensembles. On a donc P(E) Ì E, et ceci est impossible à cause du théorème précédent, car il existerait alors une surjection entre E et P(E).

En effet, on peut toujours définir une surjection S entre un ensemble E et l'une de ses parties F par :
si xÎ F, S(x) = x et si xÏ F, S(x) = y 0, élément quelconque de F. Tout élément de F a donc au moins un antécédent dans E : lui-même. En toute logique, il faut imposer que F soit non vide, ce qui est le cas ici.

Deuxième paradoxe : l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas comme élément
Un ensemble peut se contenir lui-même comme élément. Par exemple l'ensemble des ensembles de plus de deux éléments en contient lui-même au moins deux : disons N (ensemble des entiers naturels) et Z (ensemble des entiers relatifs, positifs et négatifs), donc il doit être l'un de ses propres éléments.

Dès lors, on peut constituer deux ensembles : ceux qui se contiennent eux-mêmes comme élément et ceux qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément. Paradoxalement, ce n'est pas le premier qui pose problème, mais le deuxième (bien que ses éléments semblent plus « normaux »).

En effet, celui-ci ne peut ni se contenir comme élément ni ne pas se contenir (dans un cas comme dans l'autre, cela entraîne une contradiction avec sa définition). On retrouve l'essence du raisonnement qui a permis de prouver qu'il n'y avait pas surjection de E vers P(E) : si E se contient lui-même, il est un élément de l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas, d'où contradiction. S'il ne se contient pas, il existe un ensemble, lui-même qui ne se contient pas et qui n'est pas un de ses éléments, d'où contradiction avec sa propre définition.

Remarque : le raisonnement se base sur l'un des théorèmes classiques de la logique qui est : « pour une propriété donnée Q, on a toujours ou Q, ou Non-Q ». L'un des deux est vrai. Donc on suppose d'abord que Q est vrai (ici Q(E) <=> E se contient comme élément) et l'on voit s'il y a contradiction. On trouve que Q implique Ø Q et on dit que ce n'est pas possible car un autre théorème de la logique bivalente dit : Ø (QÙ Ø Q) : on ne peut pas avoir à la fois Q et Non-Q vrais à la fois. Or, si A implique B, alors on a AÙ B vrai. Ayant conclu que Q impliquait une contradiction, on se rabat sur l'autre possibilité, la seule disponible [4] : Ø Q. Pas de chance, celle-là implique Q. Re-contradiction. La seule chance d'en sortir est que E n'existe pas.

Le paradoxe surgit donc de la seule existence de deux valeurs de vérité. S'il y en avait une ou deux autres valeurs disponibles, on pourrait les prendre comme hypothèses supplémentaires et voir ce que cela implique.

C'est ce paradoxe (semblable à celui du barbier qui rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes [5] ) qui a jeté le trouble chez les mathématiciens. D'une certaine manière, il ne doit pas être étranger au précédent puisque l'on vient de constituer deux ensembles dont la réunion forme l'ensemble des ensembles décrié ci-dessus.

D'où provenaient ces paradoxes ? On considéra (avec raison dans le cadre strict de la logique bivalente) qu'ils étaient dus au fait que la propriété définissant les ensembles coupables se référait à la notion d'appartenance. Elle était auto-référentielle. D'une certaine manière, on mettait les éléments et l'ensemble au même niveau, et la constitution finale de l'ensemble est l'effet d'une sorte de couplage avec feed-back entre lui-même et ses éléments.

Le mathématicien Ernst Zermelo [6] a alors proposé de restreindre la condition d'appartenance à un ensemble en imposant que les éléments d'un nouvel ensemble appartiennent déjà à un autre ensemble « reconnu ». De cette manière, les ensembles se construisaient par une sorte de récurrence avec des réunions successives. Mais ça n'était pas encore suffisant.

Troisième paradoxe : les nombres de Richard
Jules Richard avait montré qu'en utilisant un langage usuel pour définir les propriétés des nombres entiers, on était amené à un autre paradoxe. Supposons qu'on fasse une liste ordonnée de toutes les propriétés de nombres entiers : 1 « être divisible par 2 »
2 « être un nombre premier »
3 « être un carré »
4 etc..

Richard proposa qu'on examine pour chacun des nombres entiers n s'il satisfaisait la propriété rangée sous le rang n. Par exemple, dans notre ébauche de tableau, 1 ne satisfait pas la condition « être divisible par 2 », 2 en revanche est bien premier, mais 3 n'est pas un carré.

Un nombre qui satisfait la propriété de son rang est dit « richardien ». Dans notre cas, 2 est richardien, 1 et 3 ne le sont pas.

« Être richardien » est une propriété des nombres entiers, « Ne pas être richardien » également. Donc, on devrait les retrouver dans notre liste. On voit tout de suite le paradoxe pointer : Si p est le nombre où est rangé « Ne pas être richardien », p est-il richardien ou non ? On retrouve le paradoxe du barbier.

Dans ce cas, on voit d'où vient l'erreur : on a défini une propriété sur le classement dans une liste, et on a ensuite inséré dans cette liste la propriété en question, modifiant de ce fait la liste et la propriété elle-même. C'est comme d'écrire un ouvrage sous traitement de texte et de vouloir insérer une table des matières au début de l'ouvrage. Si cette table dépasse une page, elle devient fausse car en s'insérant, elle a « poussé » tout l'ouvrage et donc les références qu'elle indique d'une page.

Quatrième paradoxe : le plus petit nombre entier ne pouvant être exprimé en moins de quinze mots
Il est le suivant : en français, il existe plusieurs façons d'écrire ou de définir un nombre donné, et donc un nombre minimal de mots nécessaire pour l'écrire. Par exemple, pour tous les nombres jusqu'à seize, il ne faut qu'un mot (zéro, un, deux, trois etc.) alors qu'en revanche, dix sept, dix huit, dix neuf en nécessitent deux etc. Notons que pour 1999, on peut trouver plus court que les 7 de « mille neuf cent quatre vingt dix neuf ». En « belge » ou en vieux français (voir Nostradamus), « mille neuf cent nonante neuf » ne nécessite que 5 mots. Mais en fait, le minimum me semble être 4 avec « deux mille moins un ».

Donc, à tout nombre n, on peut associer P(n) qui est le plus petit nombre de mots nécessaires pour l'écrire ou le définir. Étant donné un nombre entier K, on peut rechercher quel est le plus petit nombre qui ne peut être écrit en moins de K mots. Par exemple, pour K=1, c'est zéro, pour K=2, c'est dix sept, pour K = 3, c'est « vingt et un » (même si on le définit par « trois fois sept ») etc.

Pour trouver ce nombre N(K), c'est facile, il suffit de parcourir N et d'arrêter dès que P(n) ³ K. De fait,

N(K) = Min({nÎ N / P(n) ³ K})

L'existence de ce minimum est garantie, car tout sous-ensemble de N en possède un.

Le paradoxe surgit quand on essaie de trouver N(15). Pour des nombres aussi grands, cela devient très difficile, mais il semble que ce soit « Un million deux cent quatre vingt dix sept mille deux cent quatre vingt dix sept » (1.297.297) si on réfute le vieux français. C'est donc « le plus petit nombre entier ne pouvant être exprimé en moins de quinze mots ». Le problème, c'est que la dernière phrase (entre guillemets) le définit très bien et qu'elle ne fait que quatorze mots !

Ce dernier cas est plus compliqué qu'il n'en a l'air. C'est encore un serpent qui se mort la queue (l'ouroboros grec que l'on retrouve aussi dans des oeuvres amérindiennes), mais l'écheveau est bien difficile à démêler... En regroupant tous les nombres nécessitant 15 mots pour leur écriture, on a trouvé une nouvelle manière de définir le plus petit d'entre eux, qui a un effet de feed-back sur son P(n). On pourrait conclure que P(n) est une fonction impossible.

Dans tous les cas, ceci montre le danger à mélanger langage usuel et propriétés mathématiques. Sur la lancée de Zermelo, Fraenkel et Skolem ont, en 1922, mis sur pied un langage mathématique « blindé » indépendant d'une langue quelconque et ne pouvant générer aucun paradoxe (du genre Richard). Il est tellement contraignant qu'on peut à peine l'utiliser. On se sert en général d'une version simplifiée.

L'ensemble logique défini par Zermelo (qui comprend d'ailleurs une théorie des nombres entiers), plus les corrections de Fraenkel, s'appelle le système ZF. Quand on y ajoute l'axiome du choix, c'est le système ZFC. Aujourd'hui, c'est celui qui est employé le plus communément sans qu'on le sache nécessairement.

La métamathématique de Hilbert
Au début du siècle, la situation chez les logiciens et les mathématiciens ensemblistes n'était pas fameuse. Tous ceux qui avaient voulu tordre le cou à Cantor jubilaient ; d'une certaine manière ce qui arrivait était sa faute ; les problèmes surgissaient directement de sa conception généralisée de la formation d'un ensemble et du rejet du constructivisme.

Alors est apparu David Hilbert. Dès 1904, il développé une nouvelle méthode pour éliminer les problèmes de non-contradiction et, d'une façon plus générale, pour examiner a priori ce que peuvent accomplir les mathématiques. C'est ce qu'on appelle la métamathématique ou théorie de la démonstration.

Dans ce cadre, il s'agit d'exprimer les propositions mathématiques en un langage dit « formel », composé de signes en nombre limité et répertoriés dans une liste pré-définie. Parmi ceux-ci, on trouve, outre les symboles logiques, des quantificateurs et conjonctions mathématiques :

il existe $
quel que soit "
égale =
etc.
Ceci permet d'exprimer toutes les propriétés permises par le système ZFC.

De plus, au-delà de la simple écriture de propositions, Hilbert impose que les raisonnements soient purement formels, c'est à dire que les implications entre propositions s'effectuent de manière mécanique à partir d'axiomes initiaux et de règles d'inférence elles-aussi figées a priori, sans préjuger de ce que signifient les propriétés démontrées, ni même de la nature des objets manipulés.

La démonstration est purement formelle (Jean Dieudonné [Réf.1] la compare au déroulement d'un jeu d'échecs), et ce n'est qu'ensuite qu'on peut procéder à une interprétation, mais on sort alors de la mathématique.

La démarche de Hilbert consiste à « noter les divers types de signe figurant dans le calcul, à définir la manière dont ils peuvent se combiner pour donner des formules [7] , à déterminer comment obtenir une formule à partir d'une autre formule donnée, et comment décider si certaines formules sont dérivables d'autres formules selon des règles explicitement établies » [Réf.2].

Les axiomes initiaux et les règles d'inférence forment ce qu'on appelle le système formel. Les règles d'inférence sont toujours les mêmes (fondées sur la logique bivalente), ce sont donc les axiomes qui dans la réalité définissent le système.

Par exemple, on peut définir le système suivant :

1. (" x) (x a x)

2. (" x) (" y) (((x a y)Ù (x a y)) => (x = y))

3. (" x) (" y) (" z) (((x a y)Ù (y a z)) => (x a z))

On vient de formaliser une relation d'ordre a quelconque sur des variables quelconques x, y et z. Notons qu'on ne parle pas d'ensemble, encore moins de propriété définissant ces variables. La seule chose qui compte est la règle écrite contenue dans ces 3 définitions.

Ensuite, le système entier d'en déduit par des constructions logiques. Ce qu'il est important de noter est que la démarche d'inférence est finitiste. C'est à dire qu'une formule du système doit être déduite d'une autre par un nombre fini d'implications.

Une formule qu'on peut déduire des axiomes est un théorème. Par récursivité, une formule déduite d'un théorème est aussi un théorème. Déduire une formule des axiomes, c'est à dire en faire un théorème, c'est prouver cette formule ou la démontrer.

Il faut remarquer qu'à la notion de vérité s'est substituée celle de démontrabilité. La démarche formelle de Hilbert est une machine à déduire, à démontrer.

Quelle différence cela fait-il ? Après tout, à l'intérieur du système, les axiomes sont supposés vrais, et les théorèmes qui s'en déduisent aussi. La différence, c'est qu'une propriété indémontrable n'est pas nécessairement fausse. Une propriété est reconnue être fausse si sa négation est prouvée ; en revanche, il pourrait exister des formules vraies qui malgré tout s'avèrent ne pas pouvoir être déduites des axiomes...

Prenons un exemple parlant : celui des nombres entiers. Reprenant des propriétés définies par Dedekind, l'italien Giuseppe Peano propose en 1899 une axiomatisation des nombres entiers. Une axiomatisation - comme son nom l'indique - est une liste d'axiomes nécessaires et suffisants pour être pris comme base du système formel dans lequel se déduiront les propriétés des objets qu'on veut étudier.

Peano pose les axiomes suivants :

Les entiers sont définis par un ensemble N* contenant au moins un élément noté 1 dans lequel existe une application notée s vérifiant :

I) s est injective, c'est à dire que (s(a) = s(b)) implique a = b
II) pour tout a, s(a) ¹ 1
III) si E est une partie de N* telle que 1Î E et s(E) Ì E, alors E = N*
L'application s définit le successeur de chaque nombre n, qu'on notera par la suite n+1. L'axiome III est équivalent à celui dit de récurrence ou d'induction (si une propriété est vérifiée par 1, et si - quel que soit n - le fait qu'elle soit vérifiée par n implique qu'elle le soit aussi par n+1, alors elle est vérifiée pour tout entier).

Par suite, on définit l'addition de deux nombres par récurrence, par la formule n +(m+1) = (n+m) + 1.

Prenons donc ce système formel. Peano a prouvé qu'on pouvait en déduire toutes les propriétés connues des nombres entiers (en particulier toutes celles énoncées par Euclide). De plus, ces 3 axiomes sont indépendants et aucun ne peut être déduit des deux autres.

Dans cet ensemble N*, on peut donc trouver les propriétés des nombres entiers (théorèmes d'algèbre). mais peut-on les trouver toutes ? Il existe par exemple une propriété qui n'est encore qu'une conjecture, dite de Goldbach, selon laquelle tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. Elle a été vérifiée pour tous les entiers pairs, aussi loin qu'on pouvait aller avec un ordinateur. Mais il se pourrait qu'il y ait un nombre très très grand qui ne la vérifie pas.

Si on se cantonne à notre logique bivalente, il n'y a pas de doute : ou elle est vérifiée pour tous les entiers pairs, ou elle ne l'est pas. Supposons qu'elle le soit. Rien ne prouve a priori qu'on puisse le prouver en déduisant cette conjecture des axiomes de Peano, en produisant une suite de démonstrations. Mais dans ce cas, il doit suffire de la vérifier patiemment entier pair par entier pair pour l'établir, non ? Hélas non, car même si l'on pouvait compter jusqu'à l'infini, rappelons-nous que la théorie de la démonstration impose un nombre fini d'opérations.

Il peut donc y avoir des propositions vraies mais indémontrables au sein d'un système formel. Un tel système est alors dit incomplet.

Aujourd'hui, on sait que le système de Peano-Hilbert n'est pas complet. Et on sait d'autres choses qui ne sont guère plus encourageantes... et qu'on verra au paragraphe suivant.

Avant cela, et pour terminer le tour d'horizon sur le système de Hilbert, nous allons définir une autre propriété des systèmes formels : la consistance. Elle consiste (c'est le cas de le dire !) en ce que les théorèmes déduits des axiomes sont non contradictoires, et en particulier qu'on ne peut pas prouver à la fois une proposition et sa négation.

Un système peut être incomplet, c'est dommage, mais cela n'empêche pas de raisonner : on sait seulement qu'on ne trouvera pas toutes les propriétés des objets qu'on étudie. En revanche, un système inconsistant est une catastrophe. En effet, il existe un théorème logique qui dit :

(p => (Ø p => q))

c'est à dire : si p est démontrable (un théorème), alors si Ø p est démontrable aussi, toute proposition q est démontrable, et par conséquent est un théorème. Dans un système logico-formel inconsistant, toute proposition qui respecte les règles de syntaxe est un théorème ! Au moins, il n'y a pas de problème pour les retenir par coeur... A l'opposé, un système est donc consistant s'il existe au moins une propriété qui ne soit pas un théorème (= une propriété non démontrable).

La démonstration de la consistance d'un système formel est importante. Si elle ne repose que sur les règles internes au système, elle est dite absolue (à opposer aux démonstrations de consistance relatives qui reposent sur des isomorphismes avec d'autres systèmes, mais on ne fait alors que repousser le problème).

Malgré toute la bonne volonté des mathématiciens, en 1930, personne n'avait réussi à trouver une démonstration de consistance absolue de système axiomatique des entiers.

Et alors est apparu Gödel.

Le théorème de Gödel
Introduction
En 1931, un jeune mathématicien autrichien de 25 ans nommé Kurt Gödel publia un article relativement court intitulé « Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme » (Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés) qui détruisait tous les espoirs de la génération de Hilbert.

Rappelons tout d'abord ce que sont les Principia Mathematica. C'est un traité en trois volumes rassemblant l'essentiel de la logique et les fondements des mathématiques, que l'on devait à Alfred Whitehead et Bertrand Russell et qui fut publié en 1910.

Le théorème de Gödel disait textuellement - dans sa première partie - que :

A chaque classe récursive w -consistante k de formules correspondent des signes de classe r récursifs tels que ni v gen r, ni Neg ( v Gen r) n'appartient à Flg(k ) ( v étant la variable libre de r)

Comme le fait remarquer Douglas Hofstadter [Réf. 4], « la version originale était en allemand, et vous trouverez peut-être que vous auriez tout aussi bien compris en allemand ».

En fait, cette première partie du théorème peut se traduire par :

N'importe quel système consistant permettant d'exprimer l'arithmétique est incomplet. C'est à dire que dans tout ensemble consistant comprenant les axiomes arithmétiques (Peano ou équivalents), il existe au moins une proposition arithmétique vraie qui ne puisse pas être déduite des axiomes.

Autrement dit, les tentatives de Hilbert et compagnie étaient vouées à l'échec dès le départ. Mais ce n'est là encore qu'un moindre mal. Gödel prouve aussi (seconde partie du théorème) que :

Dans un tel système (consistant permettant d'exprimer l'arithmétique), l'une des propositions indémontrables est précisément la consistance du système.

Autrement dit, si l'on peut prouver la consistance d'un système arithmétique, c'est soit que l'on s'est trompé, soit que le système est inconsistant et qu'on peut alors prouver n'importe quoi.

Ceci ne veut pas dire que l'on ne peut pas prouver la consistance d'un système, mais seulement qu'on ne peut pas le faire à l'intérieur du système lui-même, à l'aide des seuls axiomes et des règles d'inférence (c'est à dire qu'une démonstration de consistance absolue est impossible). En revanche, on peut le faire par des considérations d'ordre métamathématique. Et d'ailleurs, une telle démonstration de la consistance de l'arithmétique a été faite en 1936 par Gerhard Gentzen, élève de Gödel. Elle repose sur une classification des démonstrations arithmétiques dans un ordre linéaire selon leur degré de complexité, en appliquant à l'ordre « ordinal transfini » le principe « d'induction transfinie »

. Cette démonstration n'est pas finitiste au sens de Hilbert et non transposable dans le formalisme de l'arithmétique entière (elle manie des nombres infinis).

Nous allons esquisser les points importants de la démonstration de Gödel, car elle vaut le coup d'être vue. Elle repose en fait sur un parallèle avec le paradoxe de Richard, mais alors que celui-ci utilisait un langage courant non formalisé, Gödel a réussi à le transcrire au sein même du système formel.

La démonstration de Gödel
Le but de Gödel est de reproduire le « paradoxe du barbier » de Russell, mais transcrite dans un schéma mathématique rigoureux, afin qu'on ne puisse pas mettre le paradoxe sur le compte d'une imprécision du langage courant.

L'esprit de la démonstration [Ref.2] est le suivant : Gödel définit d'abord le cadre sur lequel il va « travailler » : c'est un système axiomatique du type des Principia Mathematica ou de Zermelo-Fraenkel possédant un nombre limité de signes, mais suffisamment riche pour inclure tous les raisonnements sur la théorie des nombres entiers. Gödel montre qu'on peut associer un numéro à toute assertion mathématique du système axiomatique, aussi bien pour les formules que les raisonnements, ou même à des raisonnements métamathématiques telles que la démonstrabilité d'une expression par une autre.

En résumé, Gödel construit un système arithmétique dans lequel tous les raisonnements logiques du système axiomatiques, aussi bien intérieurs à celui-ci (suite de formules) qu'extérieurs (métamathématiques) sont remplacés par des calculs et/ou des fonctions numériques.

Le premier pas est d'établir la numérotation susmentionnée. A l'intérieur d'un système axiomatique, il existe trois classes d'expressions : les signes/idéogrammes de base du langage, les formules et les raisonnements (qui sont des suites de formules). Tout ceci est explicité ci-dessous :

Dans tout langage axiomatique, on utilise des signes de base normalisés :

les constantes : « $ » (il existe), « ( », « ) », « Ù » (conjonction : et), « Ú » (conjonction : ou), « Þ » (implique que) etc. Il n'en faut pas plus de 10 (Gödel en utilisait 7) ;
les variables numériques : x, y, z auxquelles on peut substituer des nombres au cours du raisonnement (on n'en prend que 3)
les variables propositionnelles : p, q, r auxquelles on peut substituer des propositions (c'est à dire des formules ou des expressions) au cours du raisonnement (on n'en prend également que 3)
les variables de prédicat P, Q, R qui auxquelles on peut substituer des relations ou des fonctions (par exemple dans « x R y » où on peut dire ensuite que R signifie « plus grand que »)

– On commence par répertorier ces signes. Les 10 constantes reçoivent les valeurs de 1 à 10, par exemple comme suit : 1 Ø négation
2 $ il existe
3 Þ implique
4 ( limiteur gauche
5 ) limiteur droit
6 = égale
7 0 zéro
8 s est le successeur de
9 , séparateur
10 Ú ou

Notons qu'on n'y voit pas le signe « et » ni de chiffres strictement supérieur à 0. Ils ne sont pas nécessaires, car tout nombre entier positif n peut être désigné par un certain nombre de s (en fait n) suivi de 0. On n'a pas mis non plus « " » (quel que soit) car primo il peut être exprimé par la négation avec $ et secundo, on l'omet souvent : par défaut, « (x) » veut dire « quel que soit x ».

Les 9 variables sont numérotées :

– pour les variables numériques par les 3 premiers nombres premiers supérieurs à 10,

– pour les variables propositionnelles par les carrés des 3 premiers nombres premiers supérieurs à 10,

pour les variables de prédicat par les cubes des 3 premiers nombres premiers supérieurs à 10,

– soit : x y z p q r P Q R
11 13 17 11 2 13 2 17 2 11 3 13 3 17 3

On vient de définir les nombres de Gödel associés aux signes.

Maintenant, on peut aussi établir une fonction numérique attribuant à toute formule « simple » du système une valeur.

Par exemple, l'expression « ($x) (x = s0) » (il existe un x qui est le successeur immédiat de 0) est une formule.

Les valeurs des signes qu'elle utilise sont : ( $ x ) ( x = s 0 )
9 2 11 10 9 11 6 8 7 10

On pose alors que la valeur de cette formule, ou son « nombre de Gödel » est le nombre formé la décomposition en facteurs premiers où l'exposant du énième facteur est la valeur du signe placé en énième position de l'expression, soit ici : 2 9´3 2´5 11´7 10´11 9´13 11´17 6´19 8´23 7´27 10.

Ensuite, on peut aussi définir des nombres de Gödel pour des suites de formules (généralement utilisées dans les raisonnements). Par exemple :

($x) (x = s0)

($x) (x = sy)

Si m est le nombre de Gödel de la première expression, et n celui de la deuxième, la suite reçoit le nombre 2 m´3 n (on compose comme pour les formules isolées, à un degré au-dessus).

On vient donc d'établir une fonction depuis l'ensemble des expressions d'un système axiomatique (signes, formules isolées, suite de formules) vers l'ensemble des nombres entiers. Cette fonction est injective [9] : deux expressions différentes ont nécessairement un nombre de Gödel différent. C'est évident pour chaque catégorie séparée (de par la décomposition en facteurs premiers), mais aussi pour l'ensemble des 3 : les facteurs premiers des formules ont des exposants différents de un (et ne sont donc pas des signes) et les suites de formule ont des exposants qui sont des nombres de Gödel de formules (et n'en sont donc pas eux-mêmes, ni des signes).

En revanche, cette fonction numérique n'est pas surjective [10] car les nombres de Gödel imposent des conditions drastiques sur la décomposition en facteurs premiers. En revanche, on peut savoir si un nombre est de Gödel ou pas (toujours en effectuant la décomposition et en étudiant les facteurs premiers présents et leurs exposants) et, le cas échéant, on peut effectuer l'opération inverse et retrouver la formule de départ (signe, formule ou suite).

Notion de substitution
Cette notion est essentielle à la suite du raisonnement. Soit une formule isolée de nombre de Gödel m, disons par exemple « ($x) (x = sy) » (il existe x qui est successeur de y). Supposons qu'on veuille donner une valeur particulière à y, disons j. Ici, j n'est pas une variable, c'est un nombre entier déterminé. On peut bâtir une expression dérivée : « ($x) (x = sj) » où y a été remplacé par le nombre connu j. On peut calculer son nombre de Gödel (disons k) en refaisant toute l'opération susmentionnée à partir de la chaîne écrite, mais on peut aussi le calculer en partant du nombre m, en redécomposant l'ensemble des facteurs premiers, en réécrivant la chaîne de signes, et en remplaçant partout « y » par l'écriture littérale de j (en l'occurrence, ce serait ssss...sss0 avec j « s »), puis en recalculant. C'est une opération descriptible d'un point de vue algorithmique. On peut donc déduire k de m par une suite finie d'opérations codifiée. On dit que k est « le nombre de Gödel correspondant à l'expression obtenue à partir de celle de nombre de Gödel m dans laquelle la variable de nombre 13 (c'est à dire y) a été remplacée par z », ce qu'on note sub(m, 13, j). Cette dernière n'est pas une expression du système, c'est une fonction, et elle retourne un nombre de Gödel.

On peut être encore plus pervers et chercher le nombre de Gödel de l'expression « ($x) (x = sy) » en remplaçant la variable y par le nombre connu m, c'est à dire le nombre de Gödel de l'expression elle-même. Ce nombre est sub(m, 13, m).

Tout cela est licite. Ce ne sont que des opérations arithmétiques permettant de déterminer les nombres de Gödel d'expressions. Il n'y a ni imprécision du langage ni nombre infini d'étape (en revanche, la suite d'opérations à mener n'est pas si évidente à visualiser).

Arithmétisation de la démonstration (en général).
L'une des forces du système arithmétique de Gödel est qu'il permet aussi d'attribuer un nombre à la proposition suivante : « l'expression de nombre de Gödel x démontre l'expression de nombre z ».

Explicitons : on a vu plus haut les axiomes de Peano. La suite des 3 axiomes a un nombre de Gödel bien déterminé, disons n1. On sait que ces axiomes permettent de démontrer tout ce qui touche aux nombres entiers, par exemple que « 24 est pair ». Si n2 et le nombre de Gödel de cette dernière expression, alors il est vrai que « l'expression de nombre de Gödel n1 démontre l'expression de nombre n2 ». On peut remplacer n1 et n2 par les variables x et z, cela donne une proposition plus générale, qui n'est pas vraie pour tous les x et les z bien sûr. Mais ce que dit Gödel, c'est que le fait qu'il existe une série d'opérations axiomatiques permettant de partir de l'expression de nombre x et d'arriver à l'expression de nombre z (bref de la démontrer) est transcriptible en expression du système et possède donc un nombre de Gödel. Attention : il s'agit là de bien plus que de chercher le nombre de l'expression formelle « X Þ Z » où X serait l'expression de nombre x et Z l'expression de nombre z ; cette fois, on veut un algorithme codifié étape par étape qui serait un test permettant de savoir si oui ou non X démontre Z.

Enfin, bref, pour tout x et z, ce nombre existe (la démonstration de cette existence est très longue), et nous le noterons : Dem(x, z). Comme pour « sub » , « Dem » est une fonction qui retourne un nombre de Gödel.

Pour des raisons identiques, il existe aussi un nombre de Gödel associé à la suite d'expressions signifiant : « l'expression de nombre x ne démontre pas l'expression de nombre z ». La fonction qui retourne ce nombre est notée ØDem(x, z).

Le cœur de la démonstration de Gödel
Considérons l'expression suivante :

(x) (ØDem(x, z))

Cette expression signifie : quel que soit x, l'expression de nombre de Gödel x ne démontre pas l'expression de nombre de Gödel z. Autrement dit, aucune expression du système ne peut démontrer celle dont le nombre est z. Ou encore, cette dernière est indémontrable (c'est à dire : il n'existe aucune suite formelle de démonstration permettant de la déduire des axiomes du système). Le fait de l'avoir écrit ne signifie pas que ce soit vrai, bien sûr...

On remplace maintenant z par l'expression sub(y, 13, y). Rappelons que cette dernière est une fonction de y et signifie : le nombre de Gödel de l'expression formée à partir de celle de nombre y quand on substitue y à la variable de numéro 13.

L'expression : « (x) (ØDem(x, sub(y, 13, y))) » a un nombre de Gödel, disons Ng.

On en dérive un autre nombre en substituant à y le nombre Ng. On obtient donc l'expression :

« (x) (ØDem(x, sub(Ng, 13, Ng))) »

Quel est le nombre de cette expression ? C'est celui de l'expression formée à partir de celle de nombre Ng en substituant Ng à la variable de numéro 13 (c'est bien ce qu'on vient de faire).

Or, le nombre de Gödel de l'expression formée à partir de celle de nombre Ng en substituant Ng à la variable de numéro 13, c'est sub(Ng, 13, Ng) par définition de la fonction sub.

Cela veut dire que le nombre sub(Ng, 13, Ng) correspond à une expression dont le sens est : « quel que soit x, l'expression de nombre de Gödel x ne démontre pas l'expression de nombre de Gödel sub(Ng, 13, Ng) ».

Posons n = sub(Ng, 13, Ng). L'expression de nombre de Gödel « n » signifie : « l'expression de nombre de Gödel 'n' (elle-même) n'est pas démontrable ».

Jusqu'ici, on n'a pas utilisé le fait que le système soit consistant. Tout ce qui précède est vrai dans tout système axiomatique comprenant l'arithmétique.

Si l'on suppose maintenant que le système est consistant, alors l'expression de nombre de Gödel n est vraie, car si elle était fausse, cela voudrait dire qu'elle est démontrable (au sein du système) et donc vraie (si le système est consistant) et donc qu'elle n'est pas démontrable. En revanche, si elle est vraie, donc non démontrable, cela n'implique pas qu'elle soit fausse. Elle est donc vraie.

On a donc trouvé une expression vraie que les axiomes du système ne peuvent pas démontrer. Le système consistant est donc incomplet.

La consistance est indémontrable
On vient de montrer que la consistance d'un système implique qu'il est incomplet, en l'occurrence qu'il existe une formule vraie mais indémontrable. Il existe en fait un lien de démonstration formelle arithmétique entre les deux.

La démonstration de le consistance serait donc une démonstration de l'expression de nombre de Gödel 'n' (qui proclame qu'elle n'est pas démontrable).

Donc la consistance n'est pas démontrable, sinon le système serait inconsistant.

Quelle propriété fondamentale des nombres sous-tend le théorème de Gödel ?

Tout d'abord le fait que les nombres entiers sont en quantité infinie. Si ce n'était pas le cas, on ne pourrait pas bâtir l'injection qui attribue à tout expression formelle un nombre, car celles-là seraient en nombre strictement supérieur (puisqu'elles contiennent au moins les nombres entiers).

L'axiome du choix ne paraît pas intervenir car on n'utilise que des nombres qui ont été bâtis à partir d'autres. Mais pour en être sûr, il faudrait analyser la façon dont Gödel montre que la démonstrabilité d'une proposition peut se voir attribuer un nombre de Gödel [11] . Si celle-ci utilise la récurrence, alors l'axiome du choix est en cause.

Bibliographie
Réf.1 « Pour l'honneur de l'esprit humain » par Jean Dieudonné (Histoire et philosophie des sciences, Éditions Hachette, 1987)

Réf.2 « Le Théorème de Gödel » par Ernest Nagel et James R. Newman (collection Sources du savoir, Editions du Seuil, septembre 1989)

Réf.3 « Le livre des paradoxes » par Nicholas Falletta (Editions Pierre Belfond, 1985)

Réf.4 « Gödel Escher Bach » par Douglas Hofstadter (InterEditions, 1985)

--------------------------------------------------------------------------------

Notes
[Note 1] deux propositions sont équivalentes si elles ont les mêmes tables de vérité

[Note 2] « second » dans le sens de la découverte chronologique, pas nécessairement dans l'ordre de grandeur...

[Note 3] ou encore celui des objets mathématiques

[Note 4] Prendre comme hypothèses successives les valeurs possibles s'appelle la disjonction des cas.

[Note 5] Inventé par Russell, qui conclut d'ailleurs que le barbier n'existe pas.

[Note 6] inventeur de l'axiome du choix

[Note 7] c'est ce qu'on appelle la syntaxe

[Note 8] Je seraisbien incapable de détailler davantage!

[Note 9] Une fonction est injective si et seulement si il n'existe pas deux éléments différents qui aient la même image .

[Note 10] Une fonction est surjective si et seulement si tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent dont il est l'image.

[Note 11] C'est là en fait le seul passage délicat de l'opération, et celui que je ne connais pas dans le détail...

Les chiens vous regardent tous avec vénération.
Les chats vous toisent tous avec dédain.
Il n'y a que les cochons qui vous considèrent comme leurs égaux .
(Winston Churchill)

Edité par - ali gator le 04 mars 2008 01:27:59